重力子的自旋之謎
台大物理系 Listeve
當我們成功的利用量子場論來描述電磁場(QED), 電弱作用(GSW), 以及強作用之後, 我們發現在這個世界上, 只剩下重力這個特立獨行的傢伙, 還沒加入量子場論的行列, 因此我們很直覺的就會開始期待, 哪一天能夠將重力理論併入量子場論中, 以相同的語言來描述這些作用力, 物理學家這樣夢想著.
而在這之前, 我們必須要探討媒介這個作用力的粒子的性質, 而我們將這個媒介重力的粒子叫做重力子(graviton), 以下就是我利用老師所給的一些資料, 以及許多半調子一知半解的知識, 來做的討論.
一. 討論spin 0 scalar field是否有機會描述重粒子:
1. 利用純量場來描述重力的近似理論-牛頓的萬有引力理論:
在Norbert Straumann的文章中, 談到一開始最直接的想法, 就是以純量場來描述.
首先由愛因斯坦的方程式與電磁學作類比:
由相對論, 我們知道必須滿足以下條件:
□
定義 Lagrangian: (space like)
weak field:
當速度很慢的時候, 可以得到
因此我們知道’上面的假設可以導致行星的橢圓運動.
看起來使用純量場來描述重粒子似乎有些希望.
2. 接下來使用Lagrangian density來描述純量場理論:
接下來Norbert Straumann可以算出energy-momentum tensor, 雖然我不知道是發生什麼事情:
由這個Tensor我們可以算出Total energy
因為
因此代入Energy的式子中我們可以得到
得到一個”相吸”的結果.
Norbert Straumann提到電磁場的Energy-Momentum tensor會是零, 因此代入上面所推導出來的式子會發現E=0, 因此重力場不會對光子產生作用. 但是天文學家的觀測告訴我們, 在1913年的日食觀測中發現, 光子的確有受到太陽的重力場而產生偏折的現象(重力透鏡), 因此純量場會造成這個與實驗不符合的結果.
在Ray D’inverno的課本中, 告訴我們Maxwell energy-momentum tensor的形式是這樣的:
à
至少可以直接看出來, 在只有gaa不為零的情況下, Tr T為零. 在Malcolm Ludvigsen的課本中也提到, 沒有質量的粒子其Tab的Trace為零.
另外一個嚴重的問題, 是發生在移動中的粒子的Energy-Momentum tensor. 我們可以推導出, 以spin 0的純量場所描述的移動粒子, 其Energy-Momentum Tensor為:
也就是說, 如果一個粒子開始移動, 那麼他所受到的重力場強度會隨著速度而變小. 這可能導致一些不自洽的結果.
Norbert Straumann提到一個憶想實驗 , 來論證這個結果是錯誤的. 首先我們拿兩個箱子, 裡面各裝 N個particle, 並且標上數字1和2. 然後用棒子將這兩個箱子連起來., 這兩個箱子會因為重力作用而互相吸引. 我們可以使這些力經過安排之後使得整個系統是靜止的. 如果在2號箱子中有一個粒子的質量完全變為能量, 這時候雖然2號箱子的總質量應該不會改變, 不過由公式中我們會發現真正有作用的大小改變了. 由於純量場的作用只跟Energy-Momentum Tensor的Trace有關係, 而這個變化可能會改變Energy-Momentum Tensor的 Trace大小, 而使得系統開始加速. 這個結果實在太方頭了, 而且不合理.
二. spin 1/2 以及其他半整數spin的討論:
如果我們堅持重力子必須是spin 1/2的粒子的話, 那麼一個粒子就必須要一次發出偶數個重力子才可以, 而在Feynman的討論中, Feynman的結果是不管我們用多少的偶數重力子為單位, 我們都沒有辦法正確的描述廣義相對論. 因此半整數spin就不再討論了.
當我們考慮spin=1的粒子時, 我們直覺的想像這個量子場應該跟電磁場滿像的, 因為光子也是spin 1的粒子. 而光子所代表的電磁作用具有相斥以及相吸兩種作用. 因此我們可能要擔心要如何去掉相斥的結果, 或者是要假設anti-matter的存在?
依照Feynman Lecture on Gravitation前言的說法, 在spin 1, 3, 5等奇數倍spin的粒子來作為重力子, 都會獲得糟糕的結果. 如果一個粒子與另一個相同的粒子, 帶有相同的charge, 如果重力子帶有的spin是奇數倍, 那麼我們就會得到相斥的結果. 然而如果我們是以spin為偶數的粒子來作為重力子, 那麼我們會得到一個有趣的結果 – 不管兩個粒子所帶的charge為相同或不同, 都會得到相吸的結果. 至於詳細的推導, 已經超出我的能力範圍.
四. Spin 2 重力子理論:
由前面的討論發現, 我們能夠做的選擇只剩下spin 2的重力子了. Spin 2的重力理論是用
而在文章中的討論, 我們可以發現在Newtonian limit的狀況下, Spin 2重立場能夠描述得不錯, 得到
Norbert Straumann也在文章中提到spin 2的重力子能夠與電磁場產生couple. 因此光子在重力場中不像是純量場中所描述的不受影響, 而是會受到偏折. 產生重力透鏡的效果.
由於文章中所提到的概念已經超出我所能夠理解的範圍, 因此只能夠這樣做簡單的描述.
Summary:
1. 重力子為什麼不能是spin 0 ? 因為spin 0所代表的場為純量場, 不會跟光子產生interaction.
2. 重力子為什麼不能是spin1/2 或是其他半整數?: 因為spin 1/2以及半整數的重力子是費米子, 任何的粒子沒有辦法單獨放出一個費米子, 如果argue可以放出兩個或是其他偶數倍的費米子, Feynman的結果否決了這些猜測.
3. 重力子為什麼不能是 spin 1的或是其他奇數倍的呢?: 因為這種spin為奇數的傢伙可能會造成相斥的力, 如光子就是spin 1, 會產生排斥力(電荷相同時). 而重力只有相吸而沒有相斥.
4. 重力子為什麼可以是 spin 2 ? 因為重力子是spin 2可以成功的描述massless的粒子, 並且可以簡單的推導出古典的r平方反比能量. 並且能夠與電磁場couple, 產生interaction.
參考資料:
1. Norbert Straumann, Reflection on Gravity
2. 黃偉彥, 粒子物理導論上課講義.
3. Feynman, Lecture on Gravitation